ஓர் ஊரில் 'முடிவிலி விடுதி' என்ற விடுதி இருந்தது. பெயருக்கு ஏற்ப, எண்ணற்ற அறைகள் அந்த விடுதியில் இருந்தன. அதனால், 'இங்கு வரும் அனைவருக்கும் அறை மறுக்கப்படாது' என்ற அறிவிப்பை விடுதி நிர்வாகம் வைத்திருந்தது.

இந்த விடுதியின் மேலாளர் ஜார்ஜ் கேண்டார். நிர்வாக ஆலோசகர் டேவிட் ஹில்பர்ட். இப்போதைக்கு, முடிவிலி விடுதியின் அனைத்து அறைகளும் விருந்தினர்களால் நிரம்பியுள்ளதாகக் கொள்வோம். ஒரு விருந்தாளி வந்து அறை கேட்கிறார். எப்படிக் கொடுப்பது? மேலாளர் கேண்டர் எடுத்த முடிவு என்ன தெரியுமா?

முதல் அறையின் விருந்தினரை, இரண்டாம் அறைக்கும், இரண்டாம் அறையின் விருந்தினரை மூன்றாம் அறைக்கும் மாற்ற வேண்டும். புதிய நபருக்கு முதல் அறை ஒதுக்கப்பட்டுவிட்டது.

அடுத்த நாள் ஒரு பேருந்தில் 60 நபர்கள் வந்தார்கள். அனைத்து அறைகளும் நிரம்பியிருந்தது. இம்முறை கேண்டர் என்ன செய்திருப்பார்? முதல் அறையில் தங்கியிருந்தவரை, அறுபது அறைகள் தாண்டி 61ஆம் அறைக்கும், இரண்டாம் அறையில் இருந்த நபரை 62ஆம் அறைக்கும் மாற்றினார். இதேபோல், ஒவ்வொரு அறையில் இருப்பவரையும் 60 அறைகளுக்கு அடுத்த அறைக்கு மாற்றினார். பிரச்னை தீர்ந்தது.

மறுநாள், ஒரு பேருந்தில் எண்ணற்ற நபர்கள் ஏறி, முடிவிலி விடுதிக்கு வந்துவிட்டார்கள். அன்றைக்கும் அனைத்து அறைகளும் நிரம்பியிருந்தன. விடுதியில் தங்கியிருக்கும் எண்ணற்ற விருந்தினர்களுக்கு இடையூறு தராமல் எண்ணற்ற புதியவர்களுக்கும் அறைகளை ஒதுக்க வேண்டும்? எப்படி அளிப்பது? கேண்டர் என்ன செய்திருப்பார்?

ஒன்றாம் இலக்க அறையில் தங்கியிருக்கும் விருந்தினரை இரண்டாம் இலக்க அறையிலும், இரண்டாம் இலக்க அறையில் தங்கியிருக்கும் விருந்தினரை நான்காம் இலக்க அறையிலும் ------ இப்படி, தற்சமயம் உள்ள அறை எண் மதிப்புக்கு இரண்டு மடங்கு மதிப்பு கொண்ட அறைக்கு விருந்தினர்களை மாற்றினார். 1,3,5,7,9,11,13,...என எண்ணற்ற ஒற்றை எண் அறைகள் காலியாயின. இவற்றில் புதிதாக வந்திருந்த எண்ணற்ற விருந்தினர்களைத் தங்க வைத்தார்.

நான்காம் நாள் எண்ணற்ற பேருந்துகளில், எண்ணற்ற விருந்தினர்கள் ஏறி அறை கேட்டு வந்துவிட்டார்கள். கேண்டர் இப்போது என்ன செய்திருப்பார்?

உணவகத்தில் தற்சமயம் தங்கியிருக்கும் விருந்தினர்களை 2, 4, 8, 16, 32, 64,... என இரண்டின் படியில் அமைந்த அறைகளுக்கு மாற்றினார். முதல் பேருந்தில் வந்திருந்தவர்களை 3, 9, 27, 81, 243, 729 என மூன்றின் படியில் அமைந்த அறைகளை ஒதுக்கினார். இரண்டாம் பேருந்தில் வந்தவர்களை 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, ...என ஐந்தின் படிகளில் அமைந்த அறைகளை ஒதுக்கினார்.

இப்படி அடுத்தடுத்த பகா எண்களின்படி, எண்களில் அமைந்த அறைகளை ஒதுக்குவதன் மூலம் தீர்வு கண்டார் கேண்டர். 2,300 ஆண்டுகளுக்கு முன்னர் கிரேக்க கணித மேதை யூக்லிட், பகா எண்கள் எண்ணற்ற அளவில் அமையும் என நிரூபித்திருக்கிறார். கேண்டரும், ஹில்பர்ட்டும் இந்தப் பண்பைப் பக்குவமாகக் கையாண்டு தீர்வு கண்டார்கள்.

இந்தக் கதையில் இடம்பெற்ற ஜார்ஜ் கேண்டர், கணவியல் (Set theory) எனும் மிக முக்கிய கணிதத் துறையைத் தோற்றுவித்தவர்.

கணங்கள் குறித்த சிந்தனை, முடிவிலியின் அற்புத பண்புகளை வெளிக்கொணர்ந்தது. கேண்டரின் முடிவிலி சிந்தனைகளை எளிமையாக விளக்கிட, கணித மேதை டேவிட் ஹில்பர்ட் உருவாக்கிய கதைதான் இந்த முடிவிலி விடுதி கதை. சூப்பர் தானே!

- இரா. சிவராமன், நிறுவனர், பை கணித மன்றம்.