எண் ஒன்றைத் தவிர மற்ற எண்களுக்குக் குறைந்தது இரண்டு வகுத்திகளாவது (டிவைசர்ஸ் - Divisors) இருக்கும். எண்களின் வகுத்திகளைக் கண்டறியும் முறையைப் பாடத்தில் படித்து இருப்பீர்கள்.

ஓர் இயல் எண்ணை (நேச்சுரல் நம்பர் - Natural number) எடுத்துக் கொள்வோம். அந்த எண்ணைத் தவிர அதை வகுக்கக்கூடிய பிற வகுத்திகளைக் கண்டறிவோம். வகுத்திகளின் கூட்டல் மதிப்பு, நாம் எடுத்துக் கொண்ட எண்ணைவிட அதிகமாக அமைந்தால் அந்த எண்ணை மிகுதி எண் (அபண்டன்ட் நம்பர் - Abundant Number)என்கிறோம். குறைவாக அமைந்தால் குறை எண் (டெஃபிஷியன்ட் நம்பர் - Deficient Number) எனவும், சமமாக அமைந்தால் முழுநிறைவு எண் (பர்ஃபெக்ட் நம்பர் - Perfect Number) எனவும் குறிப்பிடுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக '12'. பன்னிரண்டை, பன்னிரண்டால் வகுக்கலாம். அதைத் தவிர, 12க்கு 5 வகுத்திகள் இருக்கின்றன. அவை 1, 2, 3, 4, 6. இவற்றைக் கூட்டினால் 16 வரும். 16 என்பது 12-ஐ விடப் பெரிய எண் (16 > 12). ஆகவே '12' ஒரு மிகுதி எண்.

முதல் நூறு இயல் எண்களில் 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100 ஆகிய 22 எண்கள் மிகுதி எண்களாக இருக்கின்றன.

அடுத்து குறை எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம். உதாரணத்துக்கு, '8' என்ற எண். இப்போது எட்டைத் தவிர அதன் பிற வகுத்திகளைக் கூட்டுவோம். 1 + 2 + 4 = 7. எட்டைவிட ஏழு சிறிய எண் (1 + 2 + 4 = 7 < 8). எனவே, 8 என்ற எண்ணை 'குறை எண்' என்கிறோம். முதல் நூறு இயல் எண்களில் 76 எண்கள் குறை எண்களாக அமைகின்றன.

அடுத்து 6 என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம். ஆறைத் தவிர அதன் பிற வகுத்திகள், 1, 2, 3. இவற்றைக் கூட்டினால் 6 வருகிறது. நாம் எடுத்துக்கொண்ட எண்ணும், அதன் வகுத்திகளின் கூடுதல் மதிப்பும் சமமாக அமைந்திருக்கிறது. எனவே, 6 'முழுநிறைவு' எண். எண்களிலேயே மிகச் சிறிய முழுநிறைவு எண் 6 தான். முதல் பத்தாயிரம் இயல் எண்களில் 6, 28, 496, 8128 ஆகிய நான்கு எண்களே முழுநிறைவு எண்களாக அமைகின்றன.

இதன் மூலம் முழுநிறைவு எண்களின் எண்ணிக்கை மிகவும் குறைவு என்பது தெரிகிறது. பிரெஞ்சு தத்துவ மற்றும் கணித மேதை ரேனே டெஸ்கார்டே (Rene Descartes) 'Like perfect men, perfect numbers are very rare' என்று குறிப்பிட்டார்.

இதுவரை மொத்தத்தில் 49 முழு நிறைவு எண்களே கண்டறியப்பட்டுள்ளன. 49 ஆவது முழு நிறைவு எண், 45 மில்லியன் (Million) இலக்கங்களுக்கு மேல் கொண்டது. மேலும் அனைத்து முழு நிறைவு எண்களும் இரட்டை எண்களாகவே (ஈவன் நம்பர்ஸ் - Even Numbers) இருக்கின்றன. அதிலும் குறிப்பாக 6 அல்லது 8 என்ற எண்களை மட்டுமே இறுதி இலக்கமாகக் கொண்டிருக்கின்றன!

பேராசிரியர். 'பை' சிவராமன்

தூ. கோ. வைணவக் கல்லூரி, சென்னை.