'அல்ஜீப்ரா' எனும் வார்த்தைக்கு 'மீட்டெடுத்தல்' என்று பொருள். இது ஒரு அரேபிய வார்த்தை. 'சமன்படுத்துதல்' மற்றும் 'முழுமை பெறுதலுக்கான கணக்கீடுகள்' என்ற அர்த்தத்தில் இது விளங்குகிறது.

கணிதத்தில் அல்ஜீப்ரா எனும் சொல்லை 'இயற்கணிதம்' என்கிறோம். சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைப் படிப்படியாகக் கணக்கிடும் முறையை, பெர்சிய நாட்டுக் கணித மேதை அல்-கவாரிஸ்மி தெளிவாக விளக்கினார். இதனால், இதை 'அல்காரிதம்' என அழைக்கிறோம். மேலும், சமன்பாடுகளின் தீர்வு முறைகளை, மாறிகள் (Solving through variables) கொண்டு வழங்கியதால் இவரை 'இயற்கணிதத்தின் தந்தை' என்றும் சொல்கிறார்கள்.

உதாரணமாக, x² + 10x = 39 என்ற இருபடி சமன்பாட்டின் மிகைத் தீர்வை இந்த முறையில் காணலாம்.

முதலில் பக்க அளவு கொண்ட ஒரு சதுரத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். கொடுத்த சமன்பாட்டை கீழ்க்காணும் படத்தில் இருந்து பெறலாம்.

இடப்பக்கத்தில் தோன்றும், முதல் சதுரத்தின் பரப்பு x² ஆகவும் இரண்டாம் செவ்வகத்தின் பரப்பு 10x ஆகவும் இந்த இரண்டு உறுப்புகளின் கூடுதல் மதிப்பு 39 ஆகவும் வலப்பக்கத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. இப்பொழுது இடப்பக்கத்தில் தோன்றும் சதுரம் மற்றும் செவ்வகத்தைக் கொண்டு ஒரு சதுரத்தை ஏற்படுத்த வேண்டும். அதற்கு முதலில், 10x என்ற பரப்புள்ள செவ்வகத்தை இரண்டு செவ்வகத் துண்டுகளாக, 5x என்ற பரப்பளவில் மாற்றி சதுரத்தின் இரண்டு பக்கங்களில் அமைக்க வேண்டும்.

இப்பொழுது, 5x5 அளவுள்ள ஒரு சதுரத்தைப் பொருத்தினால் இடப்பக்கத்தில் ஒரு சதுரம் அமைந்துவிடும். ஆனால், புதிய பரப்பை இடப்பக்கத்தில் சேர்ப்பது போல வலப்பக்கத்திலும் சேர்க்க வேண்டும். இதனால், வலப்பக்கத்தில் 39+ (5x5) = 64 என்ற பரப்பு கிடைக்கும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 25 என்ற பரப்பளவைக் கூட்டும் செயல்பாடு 'சமன்படுத்துதல்' (Balancing) எனப்படுகிறது.

இப்பொழுது வலப்பக்கத்தில் தோன்றும் 64 என்ற எண், 8X8 அளவுள்ள சதுரத்தின் பரப்பாக அமைவதால் இரண்டு பக்கமும் சமமான பரப்புடைய சதுரங்கள் அமைகின்றன. இது, முழுமையான சதுரங்களைப் பெறுதல் (Completion of Squares) எனப்படும்.

இடப்பக்கத்தில் தோன்றும் சதுரத்தின் பக்க அளவு x+5 ஆகவும் வலப்பக்க சதுரத்தின் பக்க அளவு 8 ஆகவும் அமைவதால் நாம் பெறுவது x+5=8 என்ற எளிய முதல்படி சமன்பாடு. எனவே, கொடுத்த இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து ஒருபடி சமன்பாடு கிடைக்கிறது. இதை, குறைப்பு முறை (Reduction) என அல்-கவாரிஸ்மி அழைக்கிறார்.

x+5=8 சமன்பாட்டில் இருந்து நாம் பெறுவது x = 3என்ற தீர்வு. இந்த மதிப்பே, கொடுத்த இருபடி சமன்பாட்டிற்கான மிகைத் தீர்வாக அமைகிறது. இந்தப் புதிரின் தீர்விலிருந்து இருபடிச் சமன்பாடுகளைக் கடினமான சூத்திரம் கொண்டு தீர்வு காண்பதற்குப் பதிலாக, அதனைச் சரி செய்து இரண்டு பக்கங்களிலும் சதுரம் அமைத்து எளிதாகத் தீர்வு பெறலாம்.

பை. சிவராமன்

கணிதப் பேராசிரியர், 'பை' கணித மன்றம்.