கணிதத்தின் ஆரம்பப் புள்ளி!

தர்க்கம்கர்ட் கொடேல்பிறப்பு - 28.4.1906 மறைவு - 14.1.1978“தேர்வுகள் ஆரம்பிக்கப் போகுது, தயாரா இருக்கியா கதிர்?” உமா மிஸ் ஆரம்பித்தார்கள். “அடுத்த வாரம் இந்நேரம் ஒரு எக்ஸாம் முடிஞ்சிருக்கும் மிஸ். தமிழ், ஆங்கிலம், அறிவியலைக் கூட சமாளிச்சுடலாம். கணிதம் தான் ரொம்ப பயமா இருக்கு மிஸ்.” ஓவியாதான் பதில் சொன்னாள். பதில் சொல்லாமல் நான் உமா மிஸ்ஸையே பார்த்துக்கொண்டு இருந்தேன்.“உனக்கெப்படி?”“எனக்கு பயமில்லை மிஸ். ஆனால், வேற பிரச்னை மிஸ்.”“இந்த வயசுலேயே பிரச்னையா? என்ன பிரச்னை?”“இதனால என்ன யூஸ்? படிக்கற இந்தக் கணிதத்தை எங்கே பயன்படுத்தப் போறோம்ங்கற கேள்வியெல்லாம் தோணுது மிஸ்!”உமா மிஸ் சிரிக்க ஆரம்பித்தார்கள். “பயன் என்னங்கறது இப்போ தெரியாது, கதிர். இது அடிப்படைகளைத் தெரிஞ்சுக்க வேண்டிய வயசு. அதுல முக்கியமானது, தர்க்கம். கணிதமே தர்க்கரீதியான ஒரு சப்ஜெக்ட். ஒண்ணுக்கு அடுத்து மற்றொன்று, அதற்கடுத்து இன்னொன்று என்று படிப்படியாக தர்க்கரீதியாக நகர்வது தான் மூளையோட வேலை. ஓர் இடத்துல புகை வெளியே வருதுன்னா, அங்கே நெருப்பு இருக்குன்னு அர்த்தம். நெருப்பு கண்ணுக்குத் தெரியாமல் இருக்கலாம். ஆனால், புகை எப்படி ஏற்படுதுங்கற கேள்வி எழும் இல்லையா? அதைத் தர்க்க ரீதியா அணுகினா, அங்கே நெருப்பு இருப்பது புத்திக்கு உறைக்கும். இதுபோல, வாழ்க்கையில் பல விஷயங்களை முடிவு செய்வதற்கும் புரிந்துகொள்வதற்கும் தர்க்கம் தேவை. அதற்குப் பயிற்சி கொடுப்பதுதான் கணிதம்.”“ஓ!”“20ஆம் நூற்றாண்டு தர்க்க முறைக்கு பெரிய திருப்புமுனையாக இருந்தது யார் தெரியுமா?”“யார் மிஸ்?”“கர்ட் கொடேல்ங்கற (Kurt Godel) ஒரு கணித தர்க்கவியலாளர் தான். அரிஸ்டாட்டிலுக்குப் பிறகு மிகப்பெரிய அறிவுப் புரட்சி செய்தவர்னு இவரை உலகமே கொண்டாடுது. ஐன்ஸ்டீன், கொடேலை அப்படிக் கொண்டாடினார். கொடேல், ஆஸ்திரிய நாட்டைச் சேர்ந்தவர். அவர் அமெரிக்காவுல குடியுரிமைகோரி விண்ணப்பிச்சபோது நடந்த குடியேற்ற விசாரணையின்போது, அருகிலேயே இருந்தவர் ஐன்ஸ்டீன். பிரின்ஸ்டன் பல்கலைக்கழகத்துல, கொடேலுடன் பேசியபடியே நடந்து போவதற்காகவே, அலுவலகம் வருகிறேன்னு சொன்னார் ஐன்ஸ்டீன்.”“ஓ! அவர் என்ன கண்டுபிடிச்சார், மிஸ்?”“1931இல அவருக்கு வயசு 25. அப்போ இரண்டு முக்கியமான தேற்றங்களை அவர் முன்வைத்தார். அதுக்கு 'முற்றுமை இல்லாக் கோட்பாடுகள்'னு (Incompleteness theorems) பேர். அதாவது கணிதத்துல ஒரு ஆக்சியம் (axiom) இருக்குன்னு வெச்சுக்கோ. அதாவது அது அனைவராலும் ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட உண்மை. அதைக் கணித ரீதியாக நிரூபிச்சா போதும். ஆனால், அது எப்போதும், எந்த நிலையில் தொடர்ந்து உண்மையாகவும் சரியாகவும் தான் இருக்கணும்னு அவசியமில்லங்கறது தான் கொடேலுடைய கோட்பாடு. அதுல...”“மிஸ், நீங்க சொல்றது புரியல. கொஞ்சம் விளக்கமா சொல்லுங்களேன்.”“சரி, ஓர் உதாரணத்தோட பார்ப்போம். 'நான் பொய் சொல்கிறேன்' அப்படின்னு உன்கிட்ட சொல்றேன்னு வெச்சுக்கோ. இது உண்மையா இல்லையா?”கொஞ்சம் யோசிக்க ஆரம்பித்தேன். என்ன பதில் சொல்வது என்று தெரியவில்லை.“தெரியலை மிஸ்.”“தர்க்க ரீதியா பார்ப்போம். 'நான் பொய் சொல்கிறேன்'ங்கறது அடிப்படையில் ஒரு முரண்பட்ட வாக்கியம். ஏன்னா, அது உண்மையாக இருந்தால், நான் பொய்யன் இல்லை. அது பொய்யாக இருந்தால், நான் பொய்யன், அப்போது இந்த வரி உண்மையாகிவிடும். அதனால், இந்த வரியை நிரூபிக்கவோ, மறுக்கவோ முடியாது. இதைப் போன்றதுதான் கணித தர்க்கம். அதாவது, கணித ரீதியாக நிரூபிக்க முடியாத ஏராளமான இயற்கை அம்சங்கள் உண்டு. அதைத் தான் கொடேல் எடுத்துச் சொன்னார். ஏன்னா, அன்னிக்கு அத்தனை விஷயங்களையும் கணிதத்தின் மூலம், தர்க்கமாக, சூத்திரமாக மாத்திட முடியும்ங்கற நம்பிக்கை இருந்தது. அதற்கும் அப்பாற்பட்டது இயற்கை உலகம் என்பதை எடுத்துச் சொன்னவர் கொடேல்.அதேபோல், உலகத்துல பல அம்சங்கள், மனிதன் கண்டுபிடிப்பதற்காக காத்துக்கிட்டிருக்கு. அதாவது, நாம் பயன்படுத்தற 1, 2, 3, 4,.... மாதிரியான எண்களையே எடுத்துக்கொள்வோமே. இந்த 'எண்கள்' எல்லாம் பின்னால் வந்தவை. அதற்கு முன்னாலேயே, இந்தக் கருத்துகள் இருந்தன. இரண்டு கண்கள் இருந்தன; நான்கு மாடுகள் ஒன்றாக இருந்தன; 5 மரங்கள் ஒரு தோப்பில் நின்றன; பத்து முட்டைகள் ஒரு கூடையில் இருந்தன. அதாவது, இதுபோன்ற கருத்துகளுக்குக் கொடுக்கப்பட்ட வடிவம் தான், 'எண்கள்.' இது பிளேடோ காலத்தில் இருந்து சொல்லப்படுபவை. இதைத் தான் பிளேடோனிய கணிதம் என்று அழைப்பார்கள். கொடேல் இந்தத் துறையிலும் நிறைய ஆய்வுகளைச் செய்தார்.”“புரிஞ்சா மாதிரியும் இருக்கு, புரியாத மாதிரியும் இருக்கு மிஸ்?”“கவலைப்படாதே கதிர். வயசு ஆக, ஆக உனக்கே இதெல்லாம் புரியும். கர்ட் கொடேல்ங்கற பெயரை மட்டும் ஞாபகம் வெச்சுக்கோ. என்னிக்கு இருந்தாலும், இவரை நீ படிக்காமல், வாழ்க்கையில நகர முடியாது. கணினி அறிவியல், செயற்கை நுண்ணறிவுன்னு இவர் தர்க்கம் ஆதிக்கம் செலுத்தாத துறைகளே இல்லை. ஆனால், இவருடைய சிறப்பம்சமே மாறுபட்ட சிந்தனை தான். தூர தூரமாக இருக்கும் இரண்டு அம்சங்களைக்கூட இவரால் தர்க்க ரீதியால் இணைக்க முடியும். இந்தத் தர்க்கம் தான், வாழ்க்கையோட இன்னொரு ஜன்னலைத் திறந்து காண்பிக்கும். புதிய காற்று உள்ளே வர உதவி செய்யும். எங்கும் நீக்கமற நிறைந்திருக்கும் கணிதத்தைப் பார்க்கவும் உதவி செய்யும். அதற்கு முதல்படி, இன்னிக்கு பாடப் புத்தகத்துல இருக்கிற எளிய சூத்திரங்களையும் அதன்பின்னே இருக்கும் கோட்பாடுகளையும் புரிஞ்சுகொள்வது தான். அது உன்னையும் இன்னொரு கொடேல் மாதிரி மாத்தலாம்.”எனக்குப் பேச்சே எழவில்லை. கணிதத்துக்குப் பின்னே இருக்கும் பெரிய பெரிய யோசனைகளைப் பற்றி யோசிக்கத் தொடங்கினேன்.